Catatan Kelas: Logika Modal Minggu 3 - Semantik Kripke

Minggu ini kami mempelajari semantik Kripke untuk logika modal. Berikut adalah ringkasan materi dan latihan yang dibahas di kelas.

Struktur Kripke

Frame $\mathcal{F} = \langle W, R \rangle$ terdiri dari:

• $W$: himpunan dunia-dunia mungkin (non-empty)
• $R$: relasi aksesibilitas pada $W$

Model $\mathcal{M} = \langle \mathcal{F}, V \rangle$ menambahkan:

• $V$: fungsi penilaian yang memberikan himpunan dunia untuk setiap propositional atom

Interpretasi Operator Modal

Untuk setiap dunia $w \in W$:

• $\mathcal{M}, w \vDash \square \phi$ iff $\forall v \in W$: jika $wRv$ maka $\mathcal{M}, v \vDash \phi$
• $\mathcal{M}, w \vDash \diamond \phi$ iff $\exists v \in W$: $wRv$ dan $\mathcal{M}, v \vDash \phi$

Sistem Logika Modal

Berbagai sistem logika modal ditentukan oleh properti relasi $R$:

Contoh Latihan

Soal: Tentukan apakah $\square p \to \square\square p$ valid dalam frame di mana $R$ refleksif tetapi tidak transitif.

Penyelesaian:

    w1 (p benar)
     ↓
    w2 (p salah)
     ↓
    w3 (p benar)

• Di w1: $\square p$ salah (karena p salah di w2)
• Jadi $\square p \to \square\square p$ benar di w1 (antecedent salah)

Namun, frame ini tidak transitif (w1Rw2 dan w2Rw3 tetapi bukan w1Rw3), jadi dalam S4 aksioma tidak menjamin validitas.

Catatan ini diperbarui mingguan di kelas Logika Modal Intuisionistik ID.