Catatan Kelas: Teori Himpunan Minggu 1 - Aksioma ZFC

Teori himpunan adalah bahasa fundamental matematika. Dalam pertemuan pertama, kami membahas sistem aksioma ZFC (Zermelo-Fraenkel with Axiom of Choice).

Mengapa Perlu Aksioma?

Paradoks Russell menunjukkan bahwa teori himpunan naif (yang mengizinkan setiap properti mendefinisikan himpunan) mengarah pada kontradiksi:

Jika $R \in R$, maka $R \notin R$. Jika $R \notin R$, maka $R \in R$. Kontradiksi!

ZFC membatasi cara pembentukan himpunan untuk menghindari paradoks ini.

Delapan Aksioma ZFC

1. Aksioma Ekstensionalitas

Dua himpunan sama jika dan hanya jika memiliki elemen yang sama:

2. Aksioma Pemisahan (Separation)

Untuk setiap himpunan $A$ dan properti $P(x)$, terdapat himpunan bagian dari $A$ yang berisi elemen-elemen yang memenuhi $P$:

Ini memblokir Paradoks Russell—kita tidak bisa membentuk $\{x \mid x \notin x\}$ secara langsung.

3. Aksioma Pasangan

Untuk setiap $a$ dan $b$, terdapat himpunan $\{a, b\}$:

4. Aksioma Union

Untuk setiap himpunan $A$, terdapat himpunan $\bigcup A$:

5. Aksioma Power Set

Untuk setiap himpunan $A$, terdapat himpunan $\mathcal{P}(A)$ dari semua himpunan bagian $A$.

6. Aksioma Infinitas

Terdapat himpunan tak-terbatas. Secara formal:

7. Aksioma Regularitas (Foundation)

Setiap himpunan non-kosong memiliki elemen yang disjoint dengan dirinya sendiri. Ini mencegah himpunan yang berisi dirinya sendiri ($x \in x$).

8. Aksioma Pemilihan (Axiom of Choice)

Untuk setiap keluarga himpunan non-kosong yang disjoint, terdapat himpunan yang berisi tepat satu elemen dari setiap himpunan dalam keluarga tersebut.

Latihan Minggu Ini

Soal 1: Buktikan bahwa $\emptyset$ unik (menggunakan Ekstensionalitas).

Penyelesaian: Asumsikan ada dua himpunan kosong $\emptyset_1$ dan $\emptyset_2$.

• $\forall x (x \in \emptyset_1 \iff x \in \emptyset_2)$ karena keduanya selalu false
• Oleh Ekstensionalitas, $\emptyset_1 = \emptyset_2$

Soal 2: Mengapa kita tidak bisa mendefinisikan $\{x \mid x = x\}$ (himpunan semua hal)?

Jawaban: Ini akan menjadi "himpunan universal" yang mengarah pada paradoks Russell. ZFC hanya mengizinkan pembentukan himpunan melalui Pemisahan dari himpunan yang sudah ada.

Catatan ini diperbarui mingguan di kelas Teori Himpunan Intuisionistik ID.